Notas históricas sobre a criação do zero

Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e 301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio (ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um acento agudo e a letra u tem um traço horizontal sobre ela).

Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a escrever:

301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100
301 = dasa sunya tri

Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.

Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional.

Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas próprias qualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713 escrito claramente:

triny	ekam	sapta	sat	trini	dve	catvary	ekakam
três	um	sete	seis	três	dois	quatro	um

Escrever tais números na ordem invertida, fornece:

um	quatro	dois	três	seis	sete	um	três
1	4	2	3	6	7	1	3

Números como 123.000 eram escritos como:

sunya sunya sunya tri dvi dasa

que significa:

zero zero zero três dois um

que escrito na ordem invertida fornece:

um dois três zero zero zero

No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa “por ordem de posição“.

Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no quinto século de nossa era por uma grande quantidade de cientistas e matemáticos.

Para escrever este material, usamos alguns tópicos do excelente livro: “Os números: A história de uma grande invenção”, Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985.

Notação Posicional

O sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta do século V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nos sistemas dos egípcios e chineses.

No sistema de numeração indiana não posicional que aparece no século I não existia a necessidade do número zero.

Notação (ou valor) posicional é quando representamos um número no sistema de numeração decimal, sendo que cada algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na representação do numeral.

Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor do número. Por exemplo, tomemos o número 12. Mudando as posições dos algarismos teremos 21.

12 = 1 × 10 + 2
21 = 2 × 10 + 1

O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático parece ter sido criado pelos babilônios. Os documentos mais antigos conhecidos onde aparece o número zero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta época, os números continham no máximo três algarismos.

Um dos grandes problemas do homem começou a ser a representação de grandes quantidades. A solução para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo normal.

Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.

A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.

Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.

Alguma vez você questionou sobre a razão pela qual há 360 graus em um círculo? Uma resposta razoável é que 360=6×60 e 60 é um dos menores números com grande quantidade de divisores, como por exemplo:

D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Os indianos reuniram as diferentes características do princípio posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.

Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição que um número se encontra seu valor é diferente.

O Sistema Romano de Numeração

O sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja, sua base é dez. Este sistema é utilizado até hoje em representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de relógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos de representações oficiais em documentos. Estas eram as primeiras formas da grafia dos algarismos romanos.

Tal sistema não permite que sejam feitos cálculos, não se destinavam a fazer operações aritméticas mas apenas representar quantidades. Com o passar do tempo, os símbolos utilizados pelos romanos eram sete letras, cada uma com um valor numérico:

Letra	I	V	X	L	C	D	M
Valor	1	5	10	50	100	500	1000
Leitura	Um	Cinco	Dez	Cinquenta	Cem	Quinhentos	Mil

Estas letras obedeciam aos três princípios:

1. Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior.

   VI = 5 + 1 = 6
   XII = 10 + 1 + 1 = 12
   CLIII = 100 + 50 + 3 = 153

2. Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído do maior.

   IX = 10 – 1 = 9
   XL = 50 – 10 = 40
   VD = 500 – 5 = 495

3. Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois traços sobre ele representa milhão.

   

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	Construída por Miriam Gongora e Ulysses Sodré.

POTENCIA ZERO DE ZERO – o BUG da MATEMíTICA

Cálculo: Quanto vale zero elevado a zero?

A expressão matemática 0º é muitas vezes considerada como uma forma indeterminada em Matemática. Outras vezes esta expressão é considerada, por convenção, como sendo igual a 1. Por exemplo, ela aparece quando se calcula o limite:

Lim f(x)^g(x)

quando x tende a 0 e Lim f(x)=Lim g(x)=0.

Uma forma indeterminada é o valor numérico que pode ser atribuído ao limite de uma função h=h(x) quando se substitui a variável x pelo valor numérico onde o mesmo será calculado, sem haver um trabalho mais aprimorado com a expressão envolvida com a função h=h(x).

As principais formas indeterminadas são:

0/0,  0.inf,  inf/inf,  1^inf,  inf-inf   e  0º

onde inf significa “infinito”.

Várias destas formas indeterminadas podem ser estudadas com o auxílio da Regra de L’Hôpital.

A função real f(x)=x^x possui uma descontinuidade em x=0, razão pela qual não é óbvio que se tenha que

f(0) = Lim f(x) = Lim x^x

quando x tende a 0.

Pode ser que, até mesmo este limite:

1. seja determinado e igual a 1 (uma escolha natural),

2. seja indeterminado, ou

3. nem mesmo exista.

Quando estamos calculando

Lim f(x)^g(x)

com x tendendo a 0 e lim f(x)=Lim g(x)=0, devemos fazer algumas exigências sobre as funções f e g.

Como a Regra de L’Hôpital tem íntima relação com o fato de uma f função ter desenvolvimento em série de potências (f ser analítica) em torno do ponto onde se calcula o limite, fica claro que quando esta propriedade é satisfeita nas vizinhanças deste ponto, então quase sempre é possível garantir que 0º=1.

Sem esta propriedade sobre o fato que a função deve ser analítica, nada podemos afirmar.

O fato citado acima pode ser observado se tomarmos a função definida por f(x)=exp(-1/x) se x>0 e f(x)=0 se x<0. (que não tem desenvolvimento em série de potências em torno de x=0) e g(x)=x.

Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas:

Lim f(x)^g(x) = Lim [exp(-1/x)]^x = 1/e = 0,3679…

que obviamente não é igual a 1.

Substituindo o número e de Euler por 2, obteremos um resultado diferente, significando que poderemos obter o limite que desejarmos, assim, este limite é indeterminado.

Concluímos que, se x tende a 0 e Lim f(x)=0=Lim g(x), o limite

Lim f(x)^g(x) é indeterminado

e nem mesmo podemos afirmar que 0º possa ser 1.

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	Construída por Ulysses Sodré.

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http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm